Bonjour, je galère avec une matrice qui a l'air assez simple pourtant ...
 
M= ( 7/9  4/9  -4/9
       4/9  1/9  8/9
      -4/9  8/9  1/9 )  
 
la question est  : diagonaliser A dans une base orthonormée en précisant la matrice de passage et la matrice diagonale.  
 
Je n'arrive pas à calculer correctement le déterminant qui d'aprés la correction que j'ai est -(y+1)(y-1)²  (je n'arrive pas à simplifier la matrice et je ne dois pas avoir la bonne méthode pour calculer les déterminants) car tout ce qui est vecteur propre et valeur propre je gére bien. Je vous remercie  
 
ps : j'ai cherché de nombreux cours pour ce genre de question avant de poser ma question donc désolé si ça a l'air trop simple

 
tu développe selon une ligne, t'obtient un polynôme de degré 3 et tu cherche (càd sans la correction ) une racine triviale (1,2,-1,-2,etc   ) ce qui te donne les deux autres racines.  
d’ailleurs, ce n'est pas le déterminant que tu cherche.

merci d'avoir répondu, je n'ai pas compris le "tu développes selon une ligne" ?

à prioris le déterminant tu devrais trouver un nombre et pas une équation
tu parles du polynôme caractéristique plutôt avec tes y non ?

comme dit glubi pour le déterminant tu le calcules à partir d'une ligne ou d'une colonne (si tu es un flemmard comme moi fais apparaitre des zéros en combinant lignes ou colonnes pour faire apparaitre des 0)

 
oui exact ! c'est le polynome caractéristique et pas le déterminant. Mais combien de 0 je dois faire apparaitre et comment y arriver pour cette matrice? Car en calculant avec d'autres méthode que faire apparaitre les 0, je ne trouve pas la bonne solution. Je vous remercie

soit tu calcules tout en faisant étape par étape sans te tromper dans les calculs soit tu additionnes des colonnes entre elles ou des lignes entre elles
genre C2 et C3 ou alors L2 et L3 , tu auras 2 zéros sur la ligne ou colonne et ce sera rapide

tu connait surement la méthode du développement d'un déterminant (même i il 'agit d'un pnome carac) selon une ligne/colonne ?
http://www.bibmath.net/dico/index. [...] ineur.html
c'est un méthode bourine mais efficace pour des matrice 3x3.

Salut,  
 
Tu peux aussi pour simplifier les calculs commencer par écrire : 9 M = A, et ensuite calculer les valeurs propres de A (tu retrouves alors facilement les valeurs propres de M). Tu calcules ensuite les vecteurs propres de M, en n'oubliant pas de normaliser les vecteurs propres obtenus pour obtenir une base orthonormée de vecteur propres.  
 
Bon courage.  
 

Je vous remercie pour toutes vos réponses, j'ai pu résoudre la matrice. Maintenant je galère juste pour cette question
 
Am= (1      m-1    1
        m-1   1       1
        1       1    m-1 )
 
La matrice Am est-elle diagonalisable ? Pourquoi ??  
 
je précise que dans l'énoncé dans lequel j'ai pris la question, Il faut répondre à cette question sans calcul de déterminants ou de valeurs/vecteurs propres) La seul donnée que j'ai c'est que (1  1  1) est vecteur propre de cette matrice. Si quelqu'un peut me dépanner ça m'aiderait bcp
 

Toute matrice symetrique reelle est diagonalisable...

merci hynex pour ta réponse.
 
Mon examen étant prévu pour demain, j'ai une dernière question ou je bug par rapport aux normes des vecteurs de matrices de passages.  
En consultant la correction de mon professeur j'ai vu que pour la matrice2x2 (2          racine2
                                                                                                        racine2      3 )        
pour les valeurs propres 1 et 4 , il a normé les vecteurs propre (norme est égal à 1/racine3)
 
En revanche pour un autre énoncé ou la matrice M= (-5/3   4/3
                                                                        -4/3   5/3)
 
Pour les valeurs propres 1 et -1, il n'a pas normé les vecteurs propres pour la matrice de passage.
 
J'aimerais comprendre dans quel cas on doit normer les vecteurs et dans quel cas on ne doit pas le faire ?? Je vous remercie.                              

 
+1

 
1)déja, tu peux etre sur qu'en vertu du theoreme spextarl cette matrice symetrique reelle est R diagonalisable dans une base orthonormee de vecteurs propres.
2)(1 1 1) est vecteur propres associé et donc 1 est valeur propre, reste a trouver sa multiplicité, ainsi que son sep associé.
3) calculer le polynome caracteristique pour les la(les) valeurs propres restantes.Au passage ceci n'est pas necessaire si tu trouves un polynome anullateur suffisamment simple pour determiner (dans le cas ou 1 est vp simple, car sinon le lemme des noyaux ne marche pas) cela peut etre plus rapide.
 
 
edit: je n'avais pas vu que la seule question etait de savoir si M etait diagonalisable ou pas.

 
 
la normalisation de vecteurs propres ne change rien au resultat final, de toute facon l'inversibilite de P reste inchangée.