bonjour voila est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour ce problème:  
soit D la droite ayantpour équationS: x+2y+z-1=0 et x+y-z+2=0 (en fait D est l'intersection de deux plans)  
soit la droite (AB) avec A(0,1,1) et B(1,0,1)  
 
determiner les équations cartesiennes, puis un representation paramétrique de la perpendiculaire commune à D et à (AB).  
 
je ne vois pas trop comment faire en fait je pensais écrire l'équation paramétrique de (AB) trouver un vecteur normal mais après je ne vois pas comment trouver un vecteur normal à D (avec ces deux équations pour une meme droite)  
 
 
 
merci

Mmmh, j'ai pas tout lu, mais ya plus simple je pense...
 
Le vecteur directeur de la perpendiculaire commune est orthogonal au vecteur AB ainsi qu'au vecteur directeur de D. Ce vecteur directeur (celui de D) est orthogonal aux vecteurs normaux des deux plans.
 
Donc :
- un vecteur directeur de D est le produit vectoriel des deux vecteurs normaux aux plans
- un vecteur directeur v de la perpendiculaire commune est le produit vectoriel des vecteurs directeurs de D et de (AB).
 
On a donc : (je note ^ le produit vectoriel)
 
v = ((1,2,1)^(1,1,-1))^(1,-1,0)
v = (-1,-1,1)
 
Ce qui te donne déjà un vecteur directeur de la perpendiculaire commune.
 
La suite bientôt si je suis motivé
 
EDIT : Je suis motivé, voici la suite.
 
Tout d'abord, toute à l'heure j'ai balancé le résultat du double produit vectoriel, mais si on veut l'équation cartésienne c'est pas intelligent. Mieux vaut faire le premier produit vectoriel (celui qui donne un vecteur directeur de D), et on se retrouve avec deux vecteurs normaux à la perpendiculaire commune.
 
Un vecteur directeur de D est u = (-3,2,-1)
Un vecteur directeur de (AB) est AB = (-1,-1,1)
 
Une équation cartésienne de la droite est donc :
 
{ -3x + 2y - z = a
{ - x -  y + z = b
 
Avec a et b deux constantes à déterminer sachant que la perpendiculaire commune coupe D et (AB)
 
 
D'autre part, pour l'équation paramétrique, on sait que v est un vecteur directeur de la perpendiculaire commune, on a donc le paramétrage suivant :
 
{ x = d - t
{ y = e - t
{ z = f + t
 
t est le paramètre, (d,e,f) sont des constantes à déterminer.
 
 
Voilà... j'ai sauté quelques étapes, si tu veux que je détailles quelques passages dis le moi
 
 
Petite question au passage : t'es pas en MPSI3 à Saint-Louis par hasard ? Parce que la perpendiculaire commune à deux droites, ça sert à rien, à part à faire du calcul bourrin, ce qui est la spécialité du "prof de maths" de la classe en question

Mmmh, j'ai pas tout lu, mais ya plus simple je pense...
 
Le vecteur directeur de la perpendiculaire commune est orthogonal au vecteur AB ainsi qu'au vecteur directeur de D. Ce vecteur directeur (celui de D) est orthogonal aux vecteurs normaux des deux plans.
 
Donc :
- un vecteur directeur de D est le produit vectoriel des deux vecteurs normaux aux plans
- un vecteur directeur v de la perpendiculaire commune est le produit vectoriel des vecteurs directeurs de D et de (AB).
 
On a donc : (je note ^ le produit vectoriel)
 
v = ((1,2,1)^(1,1,-1))^(1,-1,0)
v = (-1,-1,1)
 
Ce qui te donne déjà un vecteur directeur de la perpendiculaire commune.
 
La suite bientôt si je suis motivé
 
EDIT : Je suis motivé, voici la suite.
 
Tout d'abord, toute à l'heure j'ai balancé le résultat du double produit vectoriel, mais si on veut l'équation cartésienne c'est pas intelligent. Mieux vaut faire le premier produit vectoriel (celui qui donne un vecteur directeur de D), et on se retrouve avec deux vecteurs normaux à la perpendiculaire commune.
 
Un vecteur directeur de D est u = (-3,2,-1)
Un vecteur directeur de (AB) est AB = (-1,-1,1)
 
Une équation cartésienne de la droite est donc :
 
{ -3x + 2y - z = a
{ - x -  y + z = b
 
Avec a et b deux constantes à déterminer sachant que la perpendiculaire commune coupe D et (AB)
 
 
D'autre part, pour l'équation paramétrique, on sait que v est un vecteur directeur de la perpendiculaire commune, on a donc le paramétrage suivant :
 
{ x = d - t
{ y = e - t
{ z = f + t
 
t est le paramètre, (d,e,f) sont des constantes à déterminer.
 
 
Voilà... j'ai sauté quelques étapes, si tu veux que je détailles quelques passages dis le moi
 
 
Petite question au passage : t'es pas en MPSI3 à Saint-Louis par hasard ? Parce que la perpendiculaire commune à deux droites, ça sert à rien, à part à faire du calcul bourrin, ce qui est la spécialité du "prof de maths" de la classe en question

Tu résouds les systèmes :
 
{ M appartient à la perpendiculaire commune
{ M appartient à D
 
et  
 
{ M appartient à la perpendiculaire commune
{ M appartient à (AB)
 
et tu cherches les conditions sur a et b (resp. d, e et f) pour que les deux systèmes aient chacun une solution unique.
 
Tu peux déterminer (d,e,f) d'une infinité de façon. Pour (a,b) je sais pas si c'est unique, et comme j'ai pas dormi de la nuit je vais pas chercher à le savoir dans l'immédiat