Voici l'énoncé :  
ABCD est un rectangle de centre O. I est le milieu de [BC], (AI) coupe (BD) en P et (DI) coupe (AC) en Q. Montrer en utilisant une homotéthie que les droites (PQ) et (AD) sont parallèles. En déduire que AD=3PQ.
 
Je pense qu'il faut utiliser l'homotéthie de centre I qui transforme P en A mais je vois pas trop comment m'y prendre pour justifier que l'homotéthie est la même que celle qui transforme Q en D. Peut-être aussi qu'il faut utiliser que (AD) est l'image de (BI) ou (IC) par l'homotéthie de centre P ou Q ? Merci de votre aide.

Une possibilité parmi d'autres : demandez-vous ce que sont [BO] et [AI] dans le triangle ABC et donc ce qu'est P pour ce triangle d'où vous en déduisez le rapport vecteur IA/vecteurIP. En répétant la démonstration dans DBC, le problème est résolu.

DOnc je peux dire que P et Q sont les centres de gravité des triangles ABC et BCD et donc avec le rapport des longueurs dire que les droites (PQ) et (AD) sont parallèles. Mais ou est-ce que j'utilise une homothétie alors ?

Pour déduire que AD=3PQ c'est thales.
Pour la premiere question, je dois le poser proprement (c'est loin les homothéties). Laisse moi 10-15 minutes

Ho j'ai compris l'astuce de gipa c'est joli
En fait tu fais le travail sur les longueurs des segments et l'aspect vectoriel qui définit l'homothétie de centre I et de rapport (au hasard 1/3) vient naturellement car les points sont alignés par définition.

Puisqu'il est question d'homothétie, je suppose que tu n'es pas en 3e donc note les rapports des vecteurs, pas des longueurs, Thalés avec les longueurs t'obligerait à démontrer que les points sont dans le bon ordre.
Quand tu a démontré que les rapports vecteur IA/vecteur IP = 3 (centre de gravité) et vecteur IQ/vecteur ID = 3 tu en déduis que les rapports sont égaux donc qu'il existe une homothétie de centre I et de rapport 3 qui transforme P en A et Q en D donc que (PQ) et (AD) sont parallèles et que vecteur AD = 3 vecteur PQ

En fait on divise pas des vecteurs c'est juste une question de notation ...
Montrer l'ordre des points est trivial (surtout lorsqu'il a montré que P et Q sont les centres des triangles )
Enfin apres c'est juste la facon de l'écrire qui change. Je sais que c'est important mais une fois que tu as montré le coup des centres de gravité, l'exo est plié.