Bonjour
Es-ce que cette équation est insolvable ? :
 
15 000 x 1,1^n  > 20 000 + 500n
 
Il faut trouver n, d'un coté on a une suite géométrique et de l'autre une suite arithmétique  
Mon prof m'a dis qu'il n'y a AUCUNE manière de résoudre cela a part un graphique..
 

n est entier naturel ou réel ?

Un entier naturel

Ton prof a raison
 
ou alors tu le résous en testant plusieurs valeurs de n.

Si n est entier naturel elle est résoluble.

Attends tu veux dire quoi par entier naturel ? Genre 7,8987 c'est un entier naturel ?

 
Naturellement, cela va de soi

- on dit insoluble
- ici tu as une inéquation et pas une équation.
- l'équation (la même chose avec = à la place de >, donc) serait insoluble si tu cherchais une solution réelle exacte. il est en revanche assez simple de montrer que l'équation n'a pas de solution entière.
- on peut prouver assez facilement que l'inéquation a une solution du style n > n0, avec n0 un entier à déterminer (intuitivement, la suite géométrie croît vachement plus vite, donc à partir d'un certain rang elle va dépasser la suite arithmétique, même si elle part "avec du retard" ).
- pour déterminer n0, on n'a a priori pas d'autre méthode que d'essayer toutes les valeurs de n jusqu'à tomber sur "la bonne" (ce qui revient à faire un graphique). avec la démonstration précédente, on sait qu'on finira par y arriver, et dans ton cas ça arrivera vite. mais avec des coefficients différents, ça pourrait prendre plus de temps

Ok mais il n'y a aucune façon de résoudre cela algébriquement même difficilement ?

 
La question suggère que n est entier et positif.
Dans ce cas, comme

15 000 x 1,1^n  - 20 000 - 500n
 
est strictement croissant, on essaye successivement  n=1,2,3... jusqu'à trouver une valeur No vérifiant l'inégalité. Les solutions (entières et positive) sont les n >ou= no
 
Difficile de résoudre algébriquement une équation qui ne l'est pas (à cause de l'inconnue en exposant). On parle d'équation transcendante.
 
Indication : la première valeur de n n'est pas très grande.
 
Cordialement.
 
NB: On peut simplifier et passer aux logs.

Ok donc si je comprend bien il n'y a aucune solution pour le résoudre algébriquement..

En fait tu veux dire une technique pour trouver directement n en trouvant le réel x tel que 15000*1.1^x =20000 +500x (ce qui sous entend d'avoir défini 1.1^x pour x non entier !!!).Les solutions d'une telle équations ne s'expriment pas à l'aide d'expressions simples ; ce sont des nombres dits transcendants.On peut les déterminer de manière approchée ;par contre si on résout dans N une inéquation associée à l'expression  le fait de ne connaître qu'approximativement les solutions n'est plus gênant.
 
Un exemple plus simple ; supposons que tu ne connaisses pas la fonction racine carrée (!)
 
soit à résoudre dans N : x²>26
il est clair que les solutions sont les entiers à partir de 6
 
la même équation dans R tu coinces !
 
un nombre est dit transcendant s'il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers ;
 
exemple : 2 n'est pas transcendant car il est solution de x-2=0
racine(2) non plus car solution de x²-2=0  
 
exemple de transcendants : pi ; e ; ln(2) ou encore  la solution de 15000*1.1^x =20000 +500x

Ok merci =)

 
Les n cherchés vérifiant l'inéquation étant des entiers, c'est certainement la manière la plus simple et la plus rapide de les trouver.
 
Si tu ne veux pas "tâtonner" en essayant successivement 1, 2, 3 ... il est une possibilité :
 
En divisant les deux membres par 15000, l'inéquation devient  1,1^n > (40+n)/30
 
1,1 = 1 + 1/10      1,1^n = (1+1/10)^n
En développant    (1+1/10)^n = 1^n + n*1^(n-1)*1/10 + a*1^(n-2)*(1/10)² + ..... + a*1²*(1/10)^(n-2) + n*1*(1/10)^(n-1) + (1/10)^n  
= 1 + n/10 + a/100 + ... + a/(10^(n-2)) + n/(10^(n-1)) + 1/10^n  = 1 + n/10 + A  en posant a/100 + ... + a/(10^(n-2)) + n/(10^(n-1)) + 1/10^n = A et  A>0
 
L'inéquation devient 1 + n/10 + A > (40+n)/30  donc A > (40+n)/30 - 1 - n/10
A > 40/30 +n/30 - 30/30 - 3n/30    
A > (10 - 2n)/30    Cette inégalité est toujours vraie si (10 - 2n)/30 est négatif ou nul donc si n > ou = 5
 
Tous les entiers supérieurs ou égaux à 5 sont solutions.
 
Reste à vérifier que 5 est le plus petit entier solution et dont tester 4 :  1,1^4 = 1,4641  et (40+4)/30 = 1,4666...

Etrange,sur ma calculatrice ou graphique je trouve que c'est à partir de n=3

Change de calculatrice !
 
15000 * 1,1^3 = 19965             20000 + 500 * 3 = 21500

Oui pardon t'as raison  
J'avais 20 000 - 500X
Excuse
Et merci pour la démonstration

Non.  
C'est pas parce qu'ils sont solutions d'une équation 'transcendante' qu'ils ne sont pas solutions d'une équation polynomiale à coefficients entiers  
(Par exemple 2 est solution de 2^x+3*x=10 et pas transcendant )

C'est rigolo mais en rédigeant ceci je me disais qu'on allait peut être me sortir ln(x)=x-1 ou un truc du même genre ce qui s'est effectivement produit !
Je dois quand même donner des explications ; je n'ai pas parlé d'équation transcendante (parce que justement la présence de transcendants n'implique pas celle des solutions ) mais juste de nombre transcendant.Il faut dire que l'on pouvait interpréter assez librement la question (que signifie "résoudre" 15000*1.1^x=20000+500x ??? ) ; je l'ai comprise dans le sens  "puis-je trouver x en l'isolant et à l'aide d'expressions usuelles comme je le fais au degré 1 ou 2" ?; réponse à priori non , ce que j'ai voulu illustrer le plus simplement par les notions de transcendant/algébrique (avec pour être honnête l'intime conviction (sans preuve) que la solution de celle ci n'est pas algébrique) ; j'ai bien conscience qu'il s'agit d'un terrain très glissant où par exemple la nature de la somme de deux transcendants comme e et pi n'est pas connue ,où celle algébrique de la somme de deux algébriques n'est pas évidente.