Salut,
 
Je suis bloque sur un exo :  
 
Soit x_n une suite d'un espace metrique.
 
1) Soit a€E. Prouver que a est valeur d'adherence de (x_n) si et seulement si :
 
Pour tou r>0 pour tout k appartenant aux entier naturels, il existe n plus grand ou egal à p tel que x_n € B(a,r).
 
2)Pour tout p€N, on pose X_p={x_k€E;k>=p}. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adherences de (x_n) est ferme.
 
J'ai connais la definition avec les quantificateur d'etre valeur d'adherence d'une suite, mais j'avance pas

Toujours pas de LaTeX sur ce forum?
 
Je posterais demain( en fin tout à l'heure), une demonstration detaille si tu bloques toujours

Salut,
1) Si a est valeur d'adhérence de x_n ça veut dire qu'on a une sous-suite x_f(n) (avec f une extraction de N) qui converge vers a. Soit donc r>0, et p dans N. Comme x_f(n) tend vers a, pour n assez grand, disons n>=n0, x_f(n) est dans B(a,r). Maintenant soit n1=max(f(n0), p). Alors on a n1>=p et x_n1 est dans B(a,r) cqfd.
Dans l'autre sens, il faut construire une sous-suite de x_n qui tend vers a. Soit alors, pour n dans N, r_n=1/n. Par hypothèse, il existe n1=f(1) dans N tel que x_n1 soit dans B(a,1). Puis il existe n2>n1 (on notera n2=f(2)) tel que x_n2 soit dans B(a,1/2). Par récurrence on construit une sous suite x_f(n) (la récurrence ainsi amorcée montre que f est bien une extraction de N ici) telle que pour tout n dans N, x_f(n) soit dans B(a,1/n). Par suite il est clair que x_f(n) tend vers a.
2) D'après ce qui précède, a est valeur d'adhérence ssi elle se trouve dans l'adhérence de tous les ensembles X_p (je te laisse essayer de comprendre ça), ie dans l'intersection de toutes les adhérences des ensembles X_p. L'ensemble des valeurs d'adhérences est donc exactement l'intersection des adhérences des X_p. Comme chacune de ces adhérences est fermée, l'itersection l'est aussi cqfd.

J'ai un peu de mal à comprendre ton raisonnement lol, c'est peut-etre evident pour toi mais pas pour moi mais merci quand même

Je ne vois pas comment expliquer autrement que Fixio, j'avais fais la même chose, je te le scanne tt de suite, c'est plus detaille mais c'est le même principe
 
Edit :

Essaie de ne pas te bloquer sur ta définition avec les quantificateurs, essaye de comprendre ce qu'est une valeur d'adhérence. On dit que a est valeur d'adhérence de la suite (x_n) si il existe une sous-suite de (x_n) qui tend vers a. Ca veut dire que tu peux trouver des termes proches de a aussi loin que tu veux dans ta suite, c'est bien ce qui est dit dans la question 1. Après il faut le rédiger, comme mirkocrocop ou moi l'avons fait.

merçi Fixio et Mirkocrocop, c'est plus clair