Voila un problème apparemment simple mais que j'arrive pas tellement à le comprendre.
 
Soit ABCD un tétraèdre régulier (toutes les arêtes ont la même longueur). H est le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD).
 
1. Montrer que la droite (DH) est la médiatrice du segment [BC] dans le plan (BCD).
J'arrive à me repérer ça dans l'espace mais je sais pas trop comment le justifier. Je sais que DC=DB donc D appartient à la médiatrice de [BC] mais comment justifier que CH=BH ?
 
2. Montrer que les droites (AD) et (BC) sont orthogonales.  
J'avous que là j'ai du mal à me le situer. Il faudrait utiliser des proprités  pour justfier que les droites sont orthogonales mais je ne sais pas lesquelle.  
 
Merci de m'aidez si vous pouvez la géométrie dans l'espace c'est pas mon truc.

Ca fait très longtemps que je n'ait pas fait de géométrie dans l'espace mais je vais quand même essayer.
1) Comme tu l'as dit, D appartient bien à la médiatrice puisque DB = DC
Ensuite, on peut prouver que (DH) est perpendicullaire à (BC)
On va donc calculer le produit scalaire
-> ->     ->   ->  ->
DH.BC = (DA+AH).BC
            -> ->
         = DA.BC
             ->  ->  ->
         = (DC+CA).BC
 
         = -DC.BC cos(60) + BC.CA cos(60) = 0 puique tous les côtes ont le même longeur
 
Donc DH est bien la médiatrice de BC
 
2) Ce qui est bien c'est que la démo que j'ai faite répond aussi à la deuxième question
                  -> ->
(on a vu que DA.BC = 0)

Je n'ai pas encore fait les produits scalaires alors il faudrait que je puisse faire cela avec des propriétés de géométrie (théorème de la porte ou autres propriétés). Mais je trouve vraiment pas comment le démontrer.

Comment on pourrait démontrer que H appartient à la médiatrice de [BC] ?

théorème de la porte
c'est quoi ?

théroème de la porte : si une droite est perpendiculiare à deux droites sécantes d'un plan, alors elle est perpendiculaire à ce plan. Ca pourrait être utilie pour mon exercice ?

mouarf, c un nom pour un théorème encore plus ridicule que celui des "gendarmes"
 
1. tétraèdre REGULIER => triangles équilatéraux et triangles isocèles un peu partout.
 
2. Il faut t'aider du projeter orthogonal H.
Les plans (AHD) et (BCD) sont perpendiculaires.

Le fait que les plans (ADH) et (BCD) je l'utiliserais plutot pour la question 1 pour dire que (DH) est perpendiculaire à (BC). Pour la question 2 je vais y réfléchir.

J'ai un autre exercice à faire aussi.  
 
Soit un plan P. Soit E un point de P et delta la droite perpendiculiare à P en E. M est un point de delta distinct de E et D une droite de P ne passant pas par E. F est le projeté orthogonal de E sur D.
Montrer que (MF) est perpendiculaire à D.
 
Je pensais à dire que les plans P et (MEF) sont perpendiculaires et vu que D est contenue dans le plan P les droites D et (MF) sont orthogonales et vu que ces droites sont sécantes,les droites sont perpendiculaires. Mais je ne sais pas si ça tient bien la route parce que je n'utilise pas de propriété particulière. Sur ma feuille il est marqué qu'il faut citer les théorèmes utilisés mais là je vois vraiment pas lesquels.

Pour ton premier exercice :  
1-AH perpendiculaire sur le plan BCD donc orthogonale à toutes les droites de ce plan
on a alore les deux triangle droit AHC et AHB
thèoreme de pythagore sur les dux triangles :  
AB²=AH²+HB²
AC²=Ah²+HC²
comme AB=AC tu te trouve avec HB=HC et comme DB=DC,  DH est la mediane de BC
 
2-AH orthogonale à DH, DH faisant partie du plan BCD
DH orthogonale à BC (car c'est sa médiane)
donc les plans ADH et BCD sont perpondiculaire, d'ou AD orthogonale à BC

Merci pour l'aide je comprend mieux maintenant. J'ai un dernier petit exercice plutot simple, je voudrais juste savoir votre avis.
 
Pour montrer que les vecteurs vec(u) (2;6) et vec(v) (1;4) ne sont pas colinéaires, un élève à écrit :  
Si les vecteurs sont colinéraires, xy'-yx'=0.
xy'-yx'=2*4-6*1=2
xy'-yx'=/ (différent) 0 dont les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Ce rainsonnement est-il juste ? Pourquoi ?
 
Je pense que c'est faux parce qu'il part à la base que les vecteurs sont colinéraires et qu'il y a la relation de colinéralité. Or ils faut démontrer qu'ils ne sont pas colinéaires donc il ne faudrait pas commencer comme cela. Vous êtes d'accord avec moi ?

Oui, c'est vrai : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si xy'-yx'=0
Donc, par contrapposée, si xy'-yx' != 0 , les vecteurs ne sont pas colinéaires.
C'est bien le calcul qui est fait ici.
 
sultanPUA : effectivement, ta démo est plus simple que la mienne

je suis en terminale s mais la géo dans l'espace ça n'a jamais été mon truc alors il ne vaut mieux pas que je t'aide !