Comment procéder pour afficher tout ce qui sort dans la console java dans un jTextArea ?

tu fais une redirection de ton outputstream (voir System pour plus de détails) vers un stream quelconque
 
ensuite tu as une thread qui lit  ce stream et qui recopie dans ta jtextarea.

justement je sais pas vers quel type de stream rediriger

bin n'importe quoi!
 
Par exemple un BufferedOutputStream qui serait lu ensuite par ta thread. Quel est ton problème exactement?
 
Si je te donne un stream, est ce que tu peux implémenter une thread qui va lire toutes les Xmsec et qui affiche ce qu'elle recoit ?
 
Attention que System.out est un PrintStream. Regarde dans la Javadoc quel genre d'objet tu pourrais utiliser (par exemple un autre PrintStream, pq pas)