Bonsoir tout le monde  
 
Voilà, je suis en Eco-Gestion et j'ai très prochainement partiel de Maths avec des Matrices, et une question retombe souvent mais je n'arrive pas vraiment à y répondre. Voilà le problème :
On donne par exemple cette matrice :

Et la question est : Pour quelles valeurs de a la matrice A est inversible ?
   
 
Ca parrait tout con comme question, mais je buche depuis pas mal d'heures là, et j'aimerais bien avancer  Surtout que cette question revient apparament à chaque fois !
 
Merci vraiment à vous !
 

cherche la formule du déterminant, après, c'est une simple équation...

Bah le déterminant on peut le trouver avec Sarrus, ou bien avec la méthode des cofacteurs (mais bon avec une inconnue...je sais pas trop ce que ça peut donner). Et après, tu parle d'un système d'équations c'est ça ?
 
--- edit ---
 
Ah oui pardon  Voilà ce qu'il manque.
J'ai simplement oublier de dire que dans l'énnoncé, ils demandent d'utiliser la méthode du pivot...et là je ne vois pas vraiment le rapport

je vois pas trop ce que le pivot a à voir en effet... Si encore ils t'obligeaient à échelonner, je pourrais encore comprendre, mais là ...
 
dans tous les cours de calcul matriciel où j'ai eu ce genre de pb il suffisait de poser
 
|A(a)| = 2 + 1 + 0 - 0 - 0 - a = 3 - a
 
Une matrice A est inversible si |A| <> 0
 
Donc |A| = 3 - a <> 0 quand a <> 3  
 

En fait avec la méthode de pivot il faut faire apparaitre des zéros dans la troisième colonne ; pour cela tu transforme la troisième ligne en ( troisieme ligne - premiere ligne )
ru te retrouve avec la matrice    2    0     1
                                            1    1     0
                                           -2    1-a  0
tu simplifie par rapport à la troisieme colonne ce la nous donne 1*(-1)^(1+3)  l 1   1     l
                                                                                                        l  -2  1-a l
On calcule et on trouve det = 3 - a
 
Une matrice A est inversible si |A| <> 0
 
Donc |A| = 3 - a <> 0 quand a <> 3

Merci à vous  
Cependant j'aurais plusieurs questions :
 
annie >> Je n'ai pas vraiment compris comment est-ce que tu as fais...tu t'es servis d'une matrice unité c'est ça ?
Du genre    
                  1   0   0
                  0   1   0
                  0   0   1
 
?
La matrice que tu as trouvée, c'est la matrice inverse de celle de départ ?
 
 
Spotless >> Ta méthode à l'air ultra simple!  Ca peut être cool pour vérifier si le résultat est juste ou non. Par contre, tu peut m'expliquer pourquoi est-ce que tu as pris 2 + 1 + 0 - 0 - 0 - a  ?  Enfin, pourquoi c'est chiffres quoi...?
 
Merci beaucoup en tout cas

Ben j'ai calculé le déterminant de la matrice:  
 
| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |  
| a31 a32 a33 |
 
= a11 * a22 * a33 + a21 * a32 * a 13 + a31 * a12 * a23
- a31 * a22 * a13 - a32 * a23 * a11 - a33 * a21 * a12
 

La méthode du pivot de Gauss consiste à faire apparaître au ( n - 1

La méthode du pivot consiste à faire apparaitre ( n-1 ) zéros soit dans une ligne ou une colonne à n nombres.
Pour cela, on additione ou on soustrait les lignes ( ou colonnes ) pour trouver des zéros . C'est assez difficile à expliquer mais tres facile à mettre en pratique !

multilinéarité du déterminant...pivot...
c'est du cours...

AH oui d'accord j'ai pigé le truc. je l'ai refais et ça marche, merci tout le monde!  
 
Si ça ne vous dérange pas, j'aimerais vous demander autre chose, une autre question qui vient pas loin derrière :
 
"Déterminer le rang de A pour les autres valeurs de a"
 
 

Bon bah en fait j'ai refais un autre exemple et j'ai pas réussi...pourtant c'est pas compliquer les matrices  si ??
 
J'arrive à me servir de la méthode du pivot de Gauss pour inverser une matrice grâce à une matrice unité comme je vous le dis plus haut, mais je ne saisi pas la méthode pour trouver à det = 3 - a    
 
En gros, on a la matrice de base :
                                                  2   a   1
                                                  1   1   0
                                                  0   1   1
 
Et il faut la "transformer" en matrice unité :
                                                            1   0   0
                                                            0   1   0
                                                            0   0   1
C'est ça ?
Enfin en tout cas, c'est ça qu'on m'a appris moi...
Ou bien est-ce que vous posez un système d'équations ? vraiment j'ai du mal à saisir

Bon on reprend tout ( et j’espère que cette fois ci tu comprendras )
 
On part de la matrice          2    a    1
                                      1    1    0
                                      0    1    1
 
On applique la technique du pivot de Gauss je crois que je l’ai appris d’une facon differente de la tienne car pour moi le pivot consiste à faire apparaître des zeros sur une ligne ou une colonne pour pouvoir simplifier par rapport à une colonne ( d’après la regle une matrice avec une colonne ou une ligne nulle a un determinant nul c’est pour cela qu’on essaie d’introduire des zeros, pour faciliter notre calcul )
 
Bon ici on va essayer de faire apparaître des zeros dans la troisieme colonne ( je la prend au hasard j’aurai tres bien pu essayer avec la deuxieme ligne etc … )
Donc je prend la troisieme ligne 0 1 1 que je soustrait à la premiere ligne 2 a 1 cela me donne :
 
   2     a     1
   1     1     0
  -2    1-a  0
 
Comme tu peux le voir, il apparaît clairement que la troisieme colonne a deux zeros , je peux donc simplifier la matrice par rapport à cette colonne ( simplifier cela signifie que je prend le chiffre qui reste dans la colonne de zeros et que je supprime la ligne et la colonne on obtient donc :  
 
1 * ( -1)^(1+3)     1       1
                          -2     1-a  
J’ai pris le chiffre de la colonne de zeros ( 1) multiplié par (-1) puissance( numéro de la ligne plus numéro de la colonne qui ont été supprimé ) (obligatoire)
 
On se retrouve avec un determinant avec 4 chiffres simple à calculer :
Cela nous donne [ ( 1* (1-a)) – (-2)*1] = 1 – a + 2 ) =  3 – a.
Det A = 3 –a
 
Si a = 3 det A = 0 et donc matrice pas inversible et rang = 3
Si a<>3 det A<>0 et donc matrice inversible et rang = 2 ou 1

On part de la matrice          2    a    1
                                      1    1    0
                                      0    1    1  
2       a        1
0      2-a      -1       <-- 2x Ligne 2 - Ligne 1
0       1        1
 
2       a        1
0      2-a      -1        
0       0        3-a      <-- (2-a)x Ligne 3 - Ligne 2
 
Pour que la matrice soit inversible ... il faut que la derniere ligne ne fasse pas 0  0  0
Donc il faut que 3-a!=0 donc a!=3 ^^
 
Et ça c'est la methode du pivot de gauss qu'on apprend en fac ou prepa ...
 
Et pour le rang... en gros c'est le nombre de lignes differentes de 0  0  0 que t'as dans la matrice apres l'avoir passé au pivot de gauss ... si a=3, tu en as 2 donc Rg A=2
Si a!=3, tu as 3 lignes ... Donc Rg A=3.
 
PS pour annie: les methodes du Determinants sont au programme de MASS et Maths sup c'est tout. Pour les prepa HEC c'est que pour les matrices à 2lignes 2 colonnes. Donc pour Mr qui est en GEA, c'est mort. Il a pas le droit de s'en servir sur une copie en theorie..