Question de spé maths TS
Question de spé maths TS - Aide aux devoirs - Emploi & Etudes
Marsh Posté le 04-11-2007 à 15:55:42
| kchaos a écrit : essaie avec n = 3 |
OK avex n=3 ou n=9 mais celà ne fait que 2 entiers et la question est : "Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers .... ". On est loin du compte.
Si un nombre est écrit avec trois chiffres 1, il est divisible par 3
Si un nombre est écrit avec neuf (3²) chiffres 1, il est divisible par 9.
Il faut démontrer que si un nombre écrit avec 3^k chiffres 1 est divisible par 3^k alors un nombre écrit avec 3^(k+1) chiffres 1 est divisible par 3^(k+1). La récurrence fait le reste.
Message édité par gipa le 04-11-2007 à 16:51:45
Marsh Posté le 04-11-2007 à 20:54:56
| gipa a écrit : |
LA récurrence ne me parait pas évidente.
Message édité par nazzzzdaq le 04-11-2007 à 20:55:13
Marsh Posté le 04-11-2007 à 22:09:12
| nazzzzdaq a écrit : |
La démonstration n'est effectivement pas évidente.
En partant d'un nombre x écrit avec n chiffres 1, avec n=3^k, et y écrit avec 3n chiffres 1 , 3n = 3^(k+1) , on démontre que y = x*3a. Si x est un multiple de 3^k, y est donc un multiple de 3^(k+1).
Comme avec k=1 (n=3) 111 est multiple de 3, avec k=2 (n=9) 111111111 est multiple de 9, avec k=3 (n=27) 1111...11 avec 27 chiffres est multiple de 27 etc...
Marsh Posté le 04-11-2007 à 22:23:53
Eu non ça ne me parait toujours pas évident
Message édité par nazzzzdaq le 04-11-2007 à 22:26:20
Marsh Posté le 04-11-2007 à 22:27:02
C'est ça.
Tu as édité pendant que je te répondais. Pourtant tu avais la solution.
x= 111...1 avec 3^k chiffres
y= 111...1 avec 3^(k+1) chiffres donc 3 fois plus.
Dans ces 3^(k+1) chiffres on peut faire 3 "tranches" de 3^k chiffres (chaque tranche = x)
donc y = x * 10^(2*3^k) + x * 10^(3^k) + x
= x [10^(2*3^k) + 10^(3^k) + 1] et le crochet est un nombre qui s'écrit avec 3 chiffres 1 et des 0 donc la somme de ses chiffres est 3 donc il est multiple de 3 [10^(2*3^k) + 10^(3^k) + 1] = 3a
Si x est multiple de 3^k, x=3^k *b et y = 3^k * b * 3a = 3^(k+1) ab y est multiple de 3^(k+1)
Message édité par gipa le 04-11-2007 à 22:39:55
Marsh Posté le 04-11-2007 à 22:31:22
Y = X*10^(2*3^k) + X*10^(3^k)+X
= X(1 + 10^(3^k)+ 10^(2*3^k)) = X*3*A
ok
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Marsh Posté le 04-11-2007 à 12:12:40
Bonjour j'ai un devoir maison de maths, et il y a une question sur laquelle je reste bloqué, est ce que quelqun 'un d'entre vous pourrait m'aider svp? Voici la question:
Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n.
Merci d'avance pour vos réponses!