Hello, La trigonométrie, ça remonte à un bout de temps pour moi, mais ça m'énerve de ne plus arriver à me débrouiller avec des problèmes triviaux. Donc ce n'est pas vraiment une aide aux devoir, mais comme c'est tout à fait le genre de question qui colle à cette catégorie, je me lance.
 
Soit une membrane circulaire de rayon a que l'on gonfle avec une certaine pression. Elle va se déformer en une portion de sphère de rayon r. Si l'on regarde en coupe (cf image), le diamètre initial de la membrane (2*a) va s'allonger pour devenir une portion d'arc de longueur l=r*2*Theta. La membrane se gonfle d'une hauteur h en son centre.
 
Connaissant le rayon initial de la membrane (a) et la hauteur de la déflection (h) lors de la déformation, comment est-ce que j'exprime la longueur de l'arc l? En particulier lorsque h<<a?
 
Le problème c'est que j'ai sous les yeux une publication dans laquelle l'auteur a calculé l'allongement, autrement dit (l-2a)/2a dans le cas h<<a, et trouve 2h^2/(3a^2). Je n'arrive pas à retrouver ce résultat? Pouvez-vous m'aider?
 
Quelques pistes
 
l=r*2*theta
r=(h^2+a^2)/2h, qui peut être simplifié en r=a^2/2h si h<<a.
sin(theta)=a/r. avec la simplification : sin(theta)=2ha/(h^2+a^2), mais ensuite? On ne peut évidemment pas utiliser la simplification petits angles theta=sin(theta), car on trouverait 2a=l, et donc un allongement nul? Faudrait-il prendre 2 termes du développement du sinus en séries de puissances.
 
Une autre approche que j'ai essayée : remplacer l'arc l par un triangle : l=2*(a^2+h^2)^0.5=2*a*(1+(h^2/a^2))^0.5. J'ai utilisé l'approximation (1+x)^0.5=1+x/2, ce qui donne
l=2a(1+(h^2/2a^2)
l-2a=2a(h^2/2a^2), et donc
(l-2a)/2a=h^2/(2a^2), ce qui n'est pas identique à ce que je reche. Il semblent donc qu'ils n'aient pas simplifié au point de considérer l'arc comme deux segments de droite.
 
Si vous pouvez m'aider à retomber sur mes pieds, je vous en serais très reconnaissant...
 

En posant r-h=x  ---> r=x+h
On calcule x puis on en déduit r en fonction de a et h
Pythagore x²+a²=r² ---> x²+a²=(x+h)² ---> x²+a²=x²+2xh+h²  ---> a²-h²=2xh ---> x=a²/2h - h/2
r =x+h = a²/2h - h/2 + h = a²/2h + h/2
Quand on a calculé r, on calcule théta
sin théta=a/r

Merci pour ta réponse,
 
Ce que tu as posé est la formulation correcte valable pour toute valeur (raisonnable) de h. J'avais suivi la même démarche et étais arrivé au même résultat pour r et la relation pour établir théta.
 
Donc en effet, la longueur d'arc l vaut l=r*theta=((h²+a²)/2h)arcsin(2ha/(h²+a²)).
 
Mais le truc, c'est que si h<<a (donc pour de petites déformations de la membrane) on peut simplifier l'expression, et c'est ce que j'aimerais trouver. Par exemple on peut réécrire r=a²/2h
 
Ce que j'aimerais montrer, c'est que l'on peut écrire que la déformation epsilon=(l-2a)/2a=2h²/3a², ce qui revient à dire que j'aimerais montrer que l=2a(1+2h²/3a²). Mais je n'arrive pas à trouver la démarche.
Comme dit dans mon premier message, j'ai tenté de simplifier l'arc par deux segments de droite de longueur (a²+h²)^0.5, mais j'obtiens un résultat plus petit que la simplification opérée dans mon document, ce qui signifie qu'ils n'ont pas simplifiés au point de remplacer l'arc par 2 segments de droite. Si quelqu'un voit une autre solution, merci de m'éclairer...

C'est bon, j'ai trouvé.
 
Pour ceux que ça peut intéresser, voici la solution:
si h<<a
l=r*theta
theta=a/r
donc l=r*asin(a/r)
Comme vu plus haut, on peut estimer r=a²/(2h)
donc l=a²/(2h)asin(2h/a)
Vu l'hyppothèse sur h, on peut utiliser les deux premiers termes du développement en série de puissances:
asin(x)=x+x³/6
donc l=a²/2h(2h/a+8h³/(6a³))=a(1+2h²/(3a²))
 
Et voilà...