Je me pose ce soir une question existentielle.
 
Lorsqu'on fait faire des exos de géométrie dans l'espace en terminale S/ES (et dans les premières années de fac, je pense que ça se retrouve dans pas mal de filières), on peut avoir à trouver l'équation cartésienne d'un plan.
Pour cela, il suffit d'avoir trois points non alignés, et on peut poser un système du type
 

 
L'élève doit alors résoudre le système, et généralement on lui demande juste de poser une valeur de d telle que a, b et c soient des entiers.
 
Mais au final... que représente d ?  

si d est nul t'as un plan vectoriel, sinon un plan affine. that's all

Merci !

Je suis pas trop d'accord avec ce point de vue !

Google a confirmé pourtant...  
 
Et plutôt que de dire seulement "non", si tu pouvais développer un peu ?

Il faudrait commencer par dire ce que représentent x,y,z dans l'équation ax+by+cz=d : ça peut être les coordonnées d'un point ou celles d'un vecteur.
 
Dans le cas où elles représentent celles d'un vecteur l'ensemble des vecteurs vérifiant une telle relation n'est effectivement un sous espace vectoriel de R^3 que dans le cas où d vaut 0.
 
Dans le cas où elles représentent celles d'un point l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient une telle relation est un sous espace affine pour toute valeur de d , sa direction étant l'espace vectoriel évoqué juste avant.
 
Le mieux est de voir (google) comment se construit un sous espace affine à partir d'un sous espace vectoriel (ie sa direction) :
 
en gros on définit A+u=B A et B points et u vecteur.
 
Si V est un sous espace vectoriel et A un point l'ensemble des A+u avec u dans V est un sous espace affine de direction V.
 
(cela dit la question posée au début est probablement une interprétation géométrique de d).

on est à un niveau de détail bien trop élevé pour des terminales S/ES là quand même

Pas forcément si A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB) appartiennent tous deux au plan d'équation ax+by+cz=d il est clair que u=AB appartient au plan vectoriel d'équation ax+by+cz=0.

euh oui, et ?

Rien , on ne va pas plus loin non ?

wtf is going on
 
tes explications gato sont très bien, mais attendons de voir si l'auteur a compris.

non mais je veux dire, pour un niveau terminale y a rien de plus à dire que si d = 0, alors on a un plan vectoriel (= qui passe par l'origine), et sinon un plan affine. ce que s@ms disait quoi
 
ça permet de faire le parallèle avec les équations de droites en dimension 2 en plus (ax + by + c = 0, la droite passe par l'origine ssi c = 0, et si c est non nul alors on peut choisir sa valeur comme on veut).

 
C'est comme cela que l'on me l'a présenté en 4 éme j'ai fait que recopier de mémoire !

Sacré niveau en quatrième
 
L'explication simplissime donnée en premier suffit amplement, pour ce qui est du "niveau" de réponse attendu.
Mais pour ma culture perso, merci pour les compléments

La question étant "que représente d" on n'y a pas répondu.
 
On peut démontrer que la distance du point O (origine du repère) au plan d'équation ax+by+cz=d est égale à la valeur absolue de d divisée par la norme du vecteur de coordonnées (a,b,c) soit racine(a²+b²+c²) ; en particulier si ce vecteur est choisi unitaire la distance est alors la valeur absolue de d (donc nulle si d=0 bien sûr).
 
On peut aussi voir d comme indicateur de position : le plan ax+by+cz=d partitionne  l'espace en 3 zones : lui même , un demi espace d'inéquation ax+by+cz<d et un autre d'inéquation ax+by+cz>d ; le signe de d indique dans laquelle se trouve O.

 
Bonsoir,
Désolé, mais je ne comprends pas un iota à ton texte.
Pour moi l'équation cartésienne implicite d'un plan est de la forme :  
 

 
Equation que l'on peut normaliser en prenant la condition supplémentaire :  
 

 
Dans cette équation  (a, b, c) sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan et  
 

 
Représente la distance d'un point Mo au plan.
En particulier, pour Mo = O, origine du repère on trouve une expression simple de la distance.  

Pas de notion d'orthogonalité dans la section c'est pour ça que l'on détermine a,b,c,d à l'aide des coordonnées de 3 points.

 
 
Ce qui motive mon ire c'est qu'ici il me semble que l'espace "affine" de départ est euclidien et qu'on y mélange joyeusement affine et métrique.
Je dirais même plus j'ai cru comprendre qu'on voit d'abord des distances avant de parler de propriété typiquement affines comme les barycentres...
 
Les équations cartésiennes décrivant un plan donné sont toutes proportionnelles. Un coefficient n'a donc pas de signification par lui-même : seules les fonctions homogènes de poids 0 des coefficients ont une signification géométrique absolue.
 
La fonction  
 

 
est de cette sorte et sa signification a été donnée : c'est la distance de l'origine du repère au plan, mesurée pour l'unique produit scalaire rendant le repère orthonormé. Ce produit scalaire existe bel et bien, qu'il ait été ou non pris en considération dans l'exercice n'y change rien.

Je vois pas ce qui ne t'a pas plus dans :
 
a x' + b y' + c z' = d  
a x''+ b y'' + c z'' = d  
a x''' + b y''' + c z''' = d

Relis bien mon dernier message. Je pense être très clair. Un peu d'effort.

 
C'est surtout ça qui m'a intrigué ; le produit scalaire n'est pas au programme il me semble ; ainsi la recherche d'une équation de plan se fait forcément par un tel système et non pas à l'aide d'un vecteur normal au plan.

En terminale quasiment rien si ce n'est qu'on continue sur la lancé de la première.
http://www.education.gouv.fr/bo/20 [...] mathsc.htm

En l'occurrence je pensais plutôt à des T ES, bien que j'aie indiqué "S/ES" dans la question de départ.
Les ES ne savent pas ce qu'est un produit scalaire.

ES j'entendais aussi ; en TS on orientera plutôt vers la recherche d'un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan i.e. normal au plan.

En géométrie affine,
 

 
représente le volume orienté de la pyramide découpée par le plan
 

 
dans les plans de coordonnées, si aucun des coefficients  a,  b et  c n'est nul (ou plus exactement, le rapport de ce volume orienté à celui du parallélépipède construit sur les trois vecteurs unités).
 
Si donc V désigne ce volume orienté, une réponse à la question initiale est :