On considère un marché duopolistique pour lequel la demande est iso-élastique et donnée par :
Q=ap exposant -e
Où Q=q1+q2 avec a>0 et  e>1. On note c>0 le coût marginal de production.

question : ecrire le profit des firmes.

Profit = Recettes - Couts, Recettes = p.qi et Couts = c.qi
(Equilibre de Cournot)
p s'exprime en fonction de Q, donc p s'exprime en fonction de q1 et q2.
On maximise le profit en annulant les dérivés (condition du 1er ordre)
Apparemment, ça fait des calculs compliqués ^^

Si Q=(a.p)^(-e) alors p = 1/(a.Q^(1/e))
 
Firme 1 : R1 =  p.q1 = q1/(a.(q1+q2)^(1/e))
            Rm1 = 1/a . [q1.(1/e).(q1+q2)^(1/e - 1) - (q1+q2)^(1/e)] / (q1+q2)^(2/e)
Illisible non ?
 
A faire proprement pour voir si ça donne qqch..

Demande iso-élastique  : une augmentation de 1% du prix va entraıner un diminuation de 1% de la demande du bien.
 
Petit problème : Q=(a.p)^(-e).  
On passe à p' = 1.01 p
Q'=(a.1,01.p)^(-e). donc Q'=1,01^(-e).Q
 
Or pour coller à la définition, il faudrait e = 1 (dans ce cas Q'=Q/1,01 et c'est ok)
 
Ca sent pas bon tout ça
 
Edit : Sinon, est-ce que tu sais quel genre de duopole tu dois traiter ? (Est-ce nécessairement Cournot ?)
        Le cas de l'entente est facile à traiter.

Prenons Q = a.p^e, alors p = (Q/a)^(1/e)
 
1)  Le profit de la firme 1 est : p.q1 - c.q1 = (q1+q2/a)^(1/e) - c.q1
     La dérivée est : [1/e].[(q1+q2/a)^(1-e/e)]/a -c  
     La dérivée est nulle à l'optimum donc q1+q2 = a.[a.c.e]^(e/1-e)
     On a donc q1* = [a.c.e]^(e/1-e).a - q2*
 
     Par symétrie, on a q2* = a.[a.c.e]^(e/1-e) - q1*
 
2)  Les pentes des 2 fonctions sont de -1.
     (Ca a peut- être rapport avec l'isoélasticité ^^)
 
3)  Equilibre de Cournot : c'est l'intersection des deux courbes de réaction
     Bon là je suis embêté par le système (on a 2 fois la même équation); Par symétrie on doit avoir q1*=q2*
     D'où : q1* = q2*= [a.c.e]^(e/1-e).a / 2 et Q = [a.c.e]^(e/1-e).a
     p = (Q/a)^(1/e) donc p*=[a.c.e]^(1/1-e)
 
Tu trouves quelque chose comme ça ?    
 

enfait on m a posé le meme exo al examen  
mais je crois savoir que l énoncé est Q=ap^-E
 
j ai donc essayé de calculer la fct de profit P*q1-c1(inconnue)q1
 
apres je dérive tt cela par rapport a q1 ce qui me donne un resultat assez bizarre
 
 
pour le profit= (q1^(E+1)+q2^E*q1)/a^E - cq1
 
en derivant par rapport a q1 j obtiens (e+1)(q1+q2/a)^E - c=0
 
d ou q1=((-q2^E-c+(E+1)/a^E)) et puis faut faire pareil pour q2
 
mais je ne suis vraiment pas sur si y qqch de bon...  
donc si qqn a des propositions je usi preneur )))

 
 
je confirme l'énoncé  
et moi oci je suis bloqué sur cet exo alors que l'exam commence ce mercedi ! si qq1 a une proposition .........  
 
rouge : je n'ai pas trouvé le mm derivé que toi  
en fait : profit = [[Q/a]^1/-E]*q1 - cq1
 
Profit = P(Q)*q - c(q)
 

 oui chuis a science eco Mtp , et ça me tue cet exo ! on est sure ke cet exo sera tombé à l'exam mais on ne peut rien faire ! cé la merde

Perso, je trouve q1*= a^(2e-1/3e-1) / [c.e]^(e/3e-1)
 
Mais sans certitude ^^

Tu dérives par rapport à qi : Profit = (P - C).qi
P dépend de Q donc de qi
 
donc tu as P'.qi+P - C = 0, et non pas P=C