Bonjour à tous,
 
Voilà un problème sur lequel je me casse les dents :
 
Le résumé de la situation :  
 
J’ai une équation de Bellman :
rVi(S) = (S – ci) + k (μ – S)V’i(S) + 1/2σ²V’’i(S)
 
où i un indice discret : i = 0,1
ci est constant
 
S suit un processus de retour à la moyenne :
dS = k (μ – S)dt +σdz
S dépend du temps
 
Je connais les solutions particulières Pi et additionnelles φi :
P0 = - c0/r
P1 = (μ - c1)/r + (S0 + μ)/(r + k)
 
Et φi = Di ψ (r/2k, ½, k(μ – S)²/σ²)
 
Di est une constante.  
 
Ψ est une fonction hypergéométrique confluente que je sais tracer.  
 
 
Toutes ces informations sont normalement suffisantes pour résoudre le système d’équations suivant (ce que je n’arrive pas à faire):  
 
P0(Sx) + φ0(Sx) = a + P1(Sx) + φ1(Sx)   (1)
P1(Sy) + φ1(Sy) = b + P0(Sy) + φ0(Sy)   (2)
 
 
Avec les conditions de lissage:
P’0(Sx) + φ’0(Sx) = P’1(Sx) + φ’1(Sx)   (3)
P’1(Sy) + φ’1(Sy) = P’0(Sy) + φ’0(Sy)   (4)
 
Les conditions limites sont :
Quand S tend vers moins l’infini, φ0(S) = 0
Quand S tend vers plus l’infini, φ1(S) = 0
 
 
Quelques calculs (trop ?) simples me font aboutir à D0 ≠ D1 et D0 = D1 …
 
Ma question est donc : quel chemin suivre pour obtenir φi ?  
 
Je vous remercie pour votre aide