Salut a tous j'ai qques tites questions sur les séries numériques.
 
Comment on étudie la convergence d'une série contenant un cosinus ou un sinus.
Ex: somme (n^4.cos 2n)/3^n .
 
Est ce que l'on considère que le cosinus se comporte comme une série alternée? Ca serait donc équivalent a somme ( (-1)^n . n^4/3^n) ?
 
Je suis un peu perdu pour cela.
 
Et sinon pour le developpement limité en série entière de ln(1+x²) est ce que l'on pose t=x² et a ce moment la on obtient
ln(1+x²) = somme ( (-1)^n . x^2n/n ) ?
 
Merci de m'éclairer en tt cas.

 
ben on n'a pas vraiment d'équivalent pour le cosinus en l'infini, donc ici c'est pas vraiment ça qu'il faut utiliser pour voir si une série converge, faut déjà voir si les termes deviennent "suffisament petits". regarde ce qu'il y a en dehors du cos(2n) : n^4/3^n. quand n tend vers l'infini, n^4 c'est gros, mais 3^n c'est vraiment beaucoup plus gros, ça croit de manière exponentielle, et ça écrase tous les polynômes. si on peut comparer ça à un terme de série convergente, alors on aura gagné. on peut par exemple montrer que c'est un o(1/n²), c'est à dire 1/n² * (un machin qui tend vers 0). pour ça, ben suffit de faire apparaître du 1/n² : n^4/3^n = (1/n²) * (n^6/3^n). et hop, c'est dans la poche.
 
bon maintenant, reste encore le cosinus. mais comment est ce qu'il compte, qu'est ce qu'il apporte niveau "grandeur" ? ben étant donné que c'est borné, c'est pas lui qui va rendre le tout fondamentalement plus grand. on exprime ça en majorant le cosinus en valeur absolue : n^4*|cos(2n)|/3^n <= n^4/3^n, qui est un terme général de série convergente comme on l'a vu juste avant, donc ça fait que ta série converge
 

 
euh faut pas confondre développement en série entière et développement limité y en a un qui s'arrête à un moment, et l'autre si tu as le développement en série entière, alors tu as le développement limité, mais l'inverse est pas forcément vrai (suffit de prendre un machin à base de exp(-1/x) qui va avoir toutes ses dérivées nulles en 0, le DL en 0 existera bien, mais ça va donner un développement en série entière qui ne correspond à la fonction qu'en 0 ). ceci dit, si tu poses t = x², ton truc marche tout à fait, faut juste faire gaffe au rayon de convergence qui va évoluer en conséquence : si tu avais un rayon de convergence égal à R en t (stadire que ça converge pour t < R), alors tu vas récupérer un rayon égal à racine(R) (puisque ça converge pour x² < R, donc x < racine(R)). ici, vu que le rayon est 1, ça change rien, mais sur d'autres exemples faudrait y faire gaffe

 
 
pour le premier tu peux étudier la convergence absolue.
Pour le second effectivement tu peux trouver un dse en 0 de ln(1+x²) en posant t=x²;ceci dit celà revient à déterminer un nouveau rayon de convergence R' compte tenu du changement de variable

Sinon tu peux penser à la transformation d'abel quand y'a du cosinus dans l'air, là c'est pas la peine, suffit de majorer le cos par 1...