Bonjour
 
j'ai la solution mais je voudrais comprendre pour arriver à le refaire.
 
Je dois acheter 100 unités et ça doit me coûter 100 centimes sur 3 catégories :
 
_ Bonbons à 5 centimes
_ Bonbons à 1 centime
_ lot de 20 sous à 1 centime
 
la réponse est :
 
19 bonbons à 5 centimes          = 95 centimes
1 bonbon à 1 centime              = 1 centime
80 sous à 1 centime les 20 sous= 4 centimes
 
100 unités = 100 centimes
 
j'ai essayé de répartir différemment, ça ne fonctionne pas donc quelle est la formule s'il en existe une ?
 
Merci
 
 

les matheux de hfr ?  

Wow, ca fait un bail que j'ai pas fait ce genre de trucs donc je sais pas si ma reponse va etre bien structuree

En gros tu poses x, y et z pour tes trois variables.
Tu as donc deux equations.
Cote "prix": 5x + y + z = 100
Cote "nombre": x + y + 20z = 100

A cote de ca tu as des contraintes additionnelles sur chacune de tes variables, celles qui nous interessent sont:
X est un entier
Z est un entier
Z est compris entre 0 et 5 inclus (sinon tu depasses forcement les 100 unites)

De tes deux equations tu passes rapidement a 5x + y + z = x + y + 20z et donc x = 19z/4

Sachant que x est un entier, 19z/4 est egalement un entier, et sachant que z est egalement un entier et compris entre 0 et 5, tu as donc seulement deux solutions possibles:
(1) x = z = 0, du coup tu remplaces sur une de tes equations de depart pour finir avec y = 100
(2) z = 4, donc x = 19 puis depuis une de tes deux equations de depart ca te donne y = 1

 
Je ma garde ça de côté pour bien y réfléchir mais si t'a le temps tu peux faire la démonstration ?
 
La condition c'est d'avoir des bonbons de chaque donc tu peux pas avoir x = z = 0 ?
 
j'ai relu, j'arrive pas à savoir d'où vient ta formule qui reprend ce que j'ai fait..
 
Je voudrais savoir pourquoi 19, 1 et 80 et si d'autres combinaisons sont possibles ?
 
Merci  

 
IL a tout expliqué et détaillé, je vois pas ce qu'on peut dire de plus  

Bravo lasnoufle

Je viens de comprendre.
 
x = 19z : 4
 
4x = 19z
 
z = 4  et x = 19
 
z = 80 sous à 1 centimes
x = 19 bonbons à 5 centimes
 
donc tu soustraies ça à 100 et ça donne y = 1
 
C'est quelle genre d'équation ou problème, ça se rapporte à aucune formule et quel niveau de difficulté ?

En fait, c’est un type de problème dont la résolution est très générale (et systématisable) : il s’agit d’un système d’équations linéaires (on dit aussi « système linéaire »).
 
La méthode générale :
 
1) Traduire le problème
Tu associes une inconnue à chaque quantité cherchée, et tu écris les équations décrites par l’énoncé (ces équations sont dites linéaires quand elles sont de la forme « somme_d’inconnues_chacune_multipliée_par_une_constante = constante »).
Ici, pour reprendre les notations de lasnoufle, on a trois inconnues que l’on peut appeler x, y et z (désignant respectivement le nombre de bonbons à 5 centimes, le nombre de bonbons à 1 centime et le nombre de lots de 20 sous), et qui vérifient les deux équations (linéaires) suivantes :
(1) 5x + y + z = 100
(2) x + y + 20z = 100
 
 
2) Résoudre le système (linéaire)
(Pour commencer par une remarque générale, quand on a un système à 2 équations et 3 inconnues, si les 2 membres de gauche respectifs des équations (ici, 5x + y + z et x + y + 20z) ne sont pas « proportionnels », alors il y a une infinité de solutions au système qui vont chacune être déterminée en fixant la valeur de l’une des trois inconnues (sinon, il y peut y en avoir soit aucune, soit une infinité) ; c’est le cas ici.)
 
Il y a plusieurs méthodes systématiques pour résoudre un tel système (et il est préférable, en général, de les utiliser, plutôt que de « bricoler » comme lasnoufle, même si ce n’est pas faux) ; en voici deux très classiques et assez simples :
 
a) Résolution par substitution
Le principe de cette méthode est de partir d’une équation et de « remonter » ensuite dans les autres (par exemple, de la dernière à la première) pour exprimer d’abord une inconnue en fonction des autres, et ensuite remplacer cette inconnue par l’expression trouvée, pour alors trouver une expression pour une autre inconnue, et ainsi de suite.
 
Exemple : ici, l’équation (1) peut se réécrire z = 100 - 5x - y (on a exprimé z en fonction de x et y) ; on peut alors « injecter » cette égalité dans (2), c’est-à-dire y substituer 100 - 5x -y à z :
x + y + 20(100 - 5x - y) = 100
On réécrit pour arriver à une forme plus simple :
x + y + 2000 - 100x - 20y = 100
-99x - 19y=-1900
99x + 19y = 1900
On peut alors exprimer y à son tour en fonction de x :
19y = 1900 - 99x
y = 100 - (99/19)x
En réinjectant cette expression de y dans celle de z, on obtient une expression de z en fonction de x seulement :
z = 100 - 5x - [100 - (99/19)x] = 100 - 5x - 100 + (99/19)x = -(95/19)x + (99/19)x
z = (4/19)x
 
On se retrouve donc avec :
(1') z = (4/19)x
(2') y = 100 - (99/19)x
 
Il suffit de fixer une valeur arbitraire à x pour obtenir une solution (x,y,z) (on dit que le système a 1 degré de liberté) ; les contraintes spécifiques de ton problème te permettent de trouver quelle solution est attendue.
Ici : x, y et z doivent être entiers et positifs, donc en particulier x doit être un multiple de 19 pour que y et z soient des entiers, et x ne peut être supérieur ou égal à 38 car alors y serait strictement négatif, donc x vaut soit 0, soit 19, et tu peux calculer y et z dans chacun de ces deux cas.
 
b) Résolution par combinaisons linéaires
Principe : essayer de faire « disparaître » une inconnue de l’une des équations en ajoutant à cette équation un certain nombre de fois l’autre équation.
 
Exemple : ici, on va faire disparaître z de (2) en ajoutant -20 fois (1) à (2) :
(2)-20*(1) : (x + y + 20z) - 20*(5x + y + z) = 100 - 20*100
x + y + 20z - 100x - 20y - 20z = 100 - 2000
-99x - 19y = -1900
 
On se retrouve avec :
(1) 5x + y + z = 100
(2') -99x - 19y = -1900
Il suffit alors d’utiliser (2') pour exprimer y en fonction de x, et « remonter » dans (1) comme dans la méthode précédente (pour exprimer z en fonction de x).
(Remarque : l’idée de cette méthode est de rendre le système « triangulaire » : plus tu descends dans les lignes d’équations, moins il y a d’inconnues, et cela permet d’utiliser la dernière ligne pour exprimer les inconnues en fonction des dernières.
Exemple :
x + y + z = 5 (L1)
      y + z = 8 (L2)
            z = 3 (L3)
(L3) permet d’avoir la valeur de y via (L2) (y = 8 - z = 8 - 3 = 5), puis on remonte encore un coup et on a celle de x grâce à (L1) (x = 5 - y - z = 5 - 5 - 3 = -3).)
 
 
Voilà, mon message est peut-être un peu long, mais il décrit vraiment comment faire de manière réutilisable, alors cela doit valoir le coup.

 
Pour revenir à ce qui a amené cette équation..
 
C'est une histoire vraie, d'un notable ayant proposé ce problème à trois personnes pour un travail de comptable dans les années 1950.
 
Il y avait deux adultes et une autre personne étant très jeune.. C'est ce dernier qui a eu le poste, et je me demande comment il a fait car à cette époque, on avait pas autant d'instruction que maintenant..
 
Je vais plancher là dessus mais ça me rappelle un cours, j'essayerais de le poster ici pour voir si c'est pareil mais ça y ressemble en plus complexe.
 

 
Merci