snif snif mon prof de maths nous a donné un devoir de maths à faire pendan les vacs, mé moi comme je sui en L... bah jsui pa une boss koi !
 
note : m[sub]1[/sub] = m exposant 1
m[sub]2[/sub] = m exposant 2
m[sup]2[/sup] = m au carré
 
Une équation diophantienne est une équation dont les solutions sont des nombres entiers, et non des nombres réels quelconques. Ce nom d'équation diophantienne provient du mathématicien grec du troisième siècle de notre ère, Diophante, qui le premier étudia activement ce type de problème.  
Voici un exemple d'équation diophantienne : on cherche des entiers m, m[sub]1[/sub], m[sub]2[/sub] tous trois >0, tels que : m[sup]2[/sup] + m[sub]1[/sub][sup]2[/sup] + m[sub]2[/sub][sup]2[/sup] = 3mm[sub]1[/sub]m[sub]2[/sub].
Une solution de cette équation, dite équation de Markov, est donc un triplet d'entiers positifs (m,m[sub]1[/sub],m[sub]2[/sub]) ; autrement dit, trouver une solution de cette équation revient à donner une liste de trois entiers vérifiant l'égalité ci-dessus.  
 
Commençons par une remarque :  
Considérons deux entiers a et b tels que a[sup]2[/sup] soit un diviseur de b[sup]2[/sup], alors on peut démontrer que a lui-même est un diviseur de b.  
Cette remarque simple, et d'ailleurs intuitive, sera nécessaire dans la seconde partie de ce problème.
Rentrons maintenant dans le vif du sujet.
 
A) Commençons par trouver des solutions simples de l'équation de Markov.  
1. Vérifier que les triplets (1,1,1) et (2,1,1) sont des solutions de l'équation de Markov.
2. Vérifier de même que les triplets (1,2,1) et (1,1,2) sont des solutions de cette équation.  
Justifier, plus généralement, que si (m,m[sub]1[/sub],m[sub]2[/sub]) est une solution de cette équation, les triplets obtenus en permutant les entiers m,m[sub]1[/sub],m[sub]2[/sub] dans cette solution, c'est-à-dire en changeant leur ordre, sont encore des solutions de l'équation.
 
A) L'objectif de cette seconde partie est de montrer que les solutions précédentes représentent en fait toutes les solutions de l'équation de Markov, dans le cas où au moins deux des entiers m,m[sub]1[/sub],m[sub]2[/sub] sont égaux.  
On va supposer par exemple, pour fixer les idées, que m[sub]1[/sub] = m[sub]2[/sub].
1. Démontrer, en remplaçant m[sub]2[/sub] par m[sub]1[/sub] dans l'équation de Markov, que m[sub]1[/sub] est alors un diviseur de m.  
2. On peut donc écrire m=dm[sub]1[/sub], où d est un entier naturel.
Démontrer l'égalité : d[sup]2[/sup] + 2 = 3m[sub]1[/sub]d ; puis en déduire que d est un diviseur de 2.
Quelles sont les valeurs possibles pour d ?
3. En reportant ces valeurs dans l'égalité d[sup]2[/sup] + 2 = 3m[sub]1[/sub]d, montrer que m[sub]1[/sub]=1.
En déduire les solutions (m,m[sub]1[/sub],m[sub]2[/sub]) de l'équation de Markov que l'on obtient dans le cas où m[sub]1[/sub]=m[sub]2[/sub].
4. En raisonnant de même dans les cas où m=m[sub]1[/sub] et m=m[sub]2[/sub], lesquelles parmi les solutions ci-dessus, retrouverait-on ?
Remarque : on ne demande pas de refaire tout le raisonnement...
Conclure.
 
 

snif snif ya personne ki compren l'exo?

Rien compris à ton histoire de sub sup
 
Edit : apparament c juste une histoire de notation non ? m[sub]1[/sub] je peux l'appeler n et m[sub]2[/sub] je peux l'apeler p ?
 
Alors toi tu dois résoudre m² + n² + p² = 3mnp ?

Bonjour Je@nb !  
Revoilà mon devoir, qui j'espère paraitra plus clair!
merci de m'avoir répondu, à bientot j'espère.
notation : m^2 = m puissance 2
 
Une équation diophantienne est une équation dont les solutions sont des nombres entiers, et non des nombres réels quelconques. Ce nom d'équation diophantienne provient du mathématicien grec du troisième siècle de notre ère, Diophante, qui le premier étudia activement ce type de problème.
Voici un exemple d'équation diophantienne : on cherche des entiers m, m1, m2 tous trois >0, tels que : m2 + m1^2 + m2^2 = 3mm1m2.
Une solution de cette équation, dite équation de Markov, est donc un triplet d'entiers positifs (m,m1,m2) ; autrement dit, trouver une solution de cette équation revient à donner une liste de trois entiers vérifiant l'égalité ci-dessus.
 
Commençons par une remarque :
Considérons deux entiers a et b tels que a^2 soit un diviseur de b^2, alors on peut démontrer que a lui-même est un diviseur de b.
Cette remarque simple, et d'ailleurs intuitive, sera nécessaire dans la seconde partie de ce problème.
Rentrons maintenant dans le vif du sujet.
 
A) Commençons par trouver des solutions simples de l'équation de Markov.
1. Vérifier que les triplets (1,1,1) et (2,1,1) sont des solutions de l'équation de Markov.
2. Vérifier de même que les triplets (1,2,1) et (1,1,2) sont des solutions de cette équation.
Justifier, plus généralement, que si (m,m1,m2) est une solution de cette équation, les triplets obtenus en permutant les entiers m,m1,m2 dans cette solution, c'est-à-dire en changeant leur ordre, sont encore des solutions de l'équation.
 
A) L'objectif de cette seconde partie est de montrer que les solutions précédentes représentent en fait toutes les solutions de l'équation de Markov, dans le cas où au moins deux des entiers m,m1,m2 sont égaux.
On va supposer par exemple, pour fixer les idées, que m1 = m2.
1. Démontrer, en remplaçant m2 par m1 dans l'équation de Markov, que m1 est alors un diviseur de m.
2. On peut donc écrire m=dm1, où d est un entier naturel.
Démontrer l'égalité : d^2 + 2 = 3m1d ; puis en déduire que d est un diviseur de 2.
Quelles sont les valeurs possibles pour d ?
3. En reportant ces valeurs dans l'égalité d^2 + 2 = 3m1d, montrer que m1=1.
En déduire les solutions (m,m1,m2) de l'équation de Markov que l'on obtient dans le cas où m1=m2.
4. En raisonnant de même dans les cas où m=m1 et m=m2, lesquelles parmi les solutions ci-dessus, retrouverait-on ?
Remarque : on ne demande pas de refaire tout le raisonnement...
Conclure.