Bonjour, voici le problème que j'ai:
 
Soit g : R->R
         x-> exp(x^2/2)
 
On notera g'n' la dérivée n ième de g.
 
1)Calculer g' en fonction de g
 
2) En déduire la relation pour n>=2 et pour tout x réel:
 
g'n'(x)=x[g'n-1'(x)]+(n-1)[g'n-2'(x)]
 
3) On définit pour tout n naturel, la fonction Pn =g'n' /g
 
a)Calculer P0 et P1
b) Déterminer une relation entre Pn,Pn-1 et Pn-2.
 
4) Montrer que Pn est un polynôme dont on déterminera en fonction de n le degré, la parité et le signe sur [0;+infini[.
 
5) Monter que Pn'(x)=n(Pn-1) quelque soit x réel et n>=1
 
6)Pour tout n naturel calculer Pn(0) et Pn'(0) en fonction de n.
 
En fait je bloque à la question 4)!
Comment prouver qu'il s'agit d'un polynôme? Et Comment prouver le reste?
 
D'autre part j'ai pensé à faire une réccurence dans le 5). Est-ce une bonne idée?
 
Merci d'avance pour vos réponses!
A+bidou

Donne ce que tu trouves pour 1) 2) 3)
Si tu admets les questions 3a 3b et 4, tu réponds à la 5 direct, le travail est quand même mâché (après avoir résolu la 4 )

1) g'(x)=x*g(x)
 
2) Démontrer par récurrencela propriété  
P(n):"g'n'(x)=x[g'n-1'(x)]+(n-1)[g'n-2'(x)] " avec n>=2
(effectué)
 
3)a) P0=1 et P1=x
b)Pn=xPn-1 + (n-1)Pn-2 avec n>=2
 
Maintenant il me faudrait surtout de l'aide pour la question 4!
Merci d'avance!

c'est juste une récurrence à faire pour la question 4

Je veux bien, j'arrive à montrer au premier rang qu'il s'agit en effet d'un polynôme mais après pour le rang n+1, comment faire.
A la limite, ce qui est degré, parité signe, ça devrait aller.
Merci D'avance!
 
PS: Mon idée de récurrence pour la 5 est une bonne idée aussi? ou non?