Pour tout n>=1,    1^3 + 2^3+...+n^3=<n^4  
 
 
Comment on fait ?
L'initialisation facile, après

http://villemin.gerard.free.fr/Www [...] omDemo.htm doit t'aider à trouver 1^3 + 2^3+...+n^3 et tu penses ensuite que pour tout n>=1   n² =< n^3 =< n^4

Plop,
Avant tout faut que tu ais le mécanisme de base de la récurrence (récurrence faible ici)
A savoir :  
On initialise
On suppose Pn vraie pour un rang n fixé, et sous cette hypothèse on montre que la pp. est vraie au rang n+1
Je suppose que tu le sais mais ça fait pas de mal de le rappeler.
 
L'initialisation ne pose pas de pb.
On pose Pn :"Sigma pour k=1 à k=n  de k^3 =< n^4"  (HR)
(Désolé je ne sais pas écrire de somme sur un forum ^^ )
 
Il faut montrer que la pp. est vraie au rg n+1 en se servant de Pn :  
 
On sait que Sigma pour k=1 à k=n  de k^3 = Sigma pour k=0 à k=n  de k^3 = [(n(n+1)/2)]^2
Il suffit donc de mq que Sigma pour k=1 à k=n+1  de k^3 =< (n+1)^4
 Or  
 [(n(n+1)/2)]^2 + (n+1)^3 =< n^4 + (n+1)^3  (HR)
Soit  Sigma pour k=1 à k=n+1  de k^3 =< n^4 + n^3 + 2n^2 + 3n +1 ( binôme de newton)  
 
Or (n+1)^4 = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 ( tjs binôme de newton)
et comme n appartient à N, il est clair que n^4 + n^3 + 2n^2 + 3n +1 =< n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1
Donc Sigma pour k=1 à k=n+1  de k^3  =< (n+1)^4
La pp. est vraie au rang n+1.
Cl: Pour tt n, la pp. est vraie.
 
Voilà sauf erreur  
La mise en forme est pas terrible désolé, (si quelqu'un sert comment faire des sigma ? )
 
Edit : J'ai essayé de mettre en couleur ce qui était égal c'est ptète plus lisible :?

La démonstration peut aussi se faire sans récurrence.
On démontre que S(n^3) = 1^3 + 2^3 + .... + n^3 = n²(n+1)²/4

On en déduit que 4*S(n^3) = n²(n+1)², en développant 4*S(n^3) = n²(n²+2n+1) = n^4 + 2*n^3 + n²
Avec n>=1, n^3 =< n^4 donc 2*n^3 =< 2*n^4
            et n² =< n^4
Donc n^4 + 2*n^3 + n²  =< n^4 + 2*n^4 + n^4         n^4 + 2*n^3 + n²  =< 4*n^4       4*S(n^3) =< 4*n^4  
   S(n^3) =< n^4

Ok merci les gars, je vais voir ça demain.